Esta reflexión nos condujo a preguntarnos ¿Cuál es la probabilidad de obtener 2+1 espectros "buenos" al comprar n mazos de sellados?
La pregunta parece simple, pero intentar resolverla fue (para mí) bastante complejo.
Primera aproximación: Golpes rápidos.
Mi primera aproximación fue hacer un script de R para conocer las probabilidades (con el cuál ya tendría la respuesta a la pregunta inicial), pero en este punto mi interés se convirtió en intentar dar con la fórmula.
Código: Seleccionar todo
check_conditions <- function(row) {
has_repeated_not_C <- any(duplicated(row) & row != "C")
non_c_elements <- row[row != "C"]
has_two_different_not_C <- length(unique(non_c_elements)) >= 2
return(has_repeated_not_C & has_two_different_not_C)
}
boxes <- name <- function(x) {
result <- expand.grid(replicate(x, LETTERS[1:5], simplify = FALSE))
result <- result %>%
mutate(Conditions = apply(result, 1, check_conditions))
print(((sum(result$Conditions, na.rm = TRUE)) / nrow(result))*100)
}
- ¿Existe al menos un pack fijo duplciado que no sea el pack C?
- ¿Existen al menos dos packs fijos distintos que no sean el C?
En este punto todavía estaba muy lejos de obtener una fórmula, pero al menos cuento con las probabilidades como para poder evaluar posibles fórmulas:
x=3, 0.288
x=4, 0.5952
x=5, 0.8064
x=6, 0.918528
x=7, 0.9687552
x=8, 0.9887846
x=9, 0.9961513
x=10, 0.9987146
Este método es tan poco óptimo que se demora cerca de 6 minutos en mi computador.
Marcha forzada: La aproximación de las "rutas".
Se me ocurrió una aproximación que representa las opciones como "rutas" que se van dividiendo a medida que compramos mazos. Veámos en que consiste para x = 3:
Rutas:
A. Comprar un primer mazo que resulte ser uno de los packs fijos con espectro bueno (prob. 4/5).
A.a. Comprar un segundo mazo que resulte ser otro de los packs con espectro bueno (3/5).
A.b. Coprar un tercer mazo y que resulte ser el mismo pack que el primero que compré o el mismo pack que el segundo que compré (2/5).
B. Comprar un primer mazo que resulte ser uno de los packs fijos con espectro bueno (4/5).
B.a. Comprar un segundo mazo que resulte ser el mismo pack que compré en el primero (1/5).
B.b. Comprar un tercer mazo que resulte ser otro de los packs fijos con espectro bueno (3/5).
Cada "ruta" representa una combinación de compras que resulta en que se satisfaga la condición (tener 2+1 espectros buenos). Como las probabilidades de una compra no dependen de la compra anterior (son independientes), podemos multiplicar las probabilidades a lo largo de una ruta. Y como no podemos cambiar una ruta una vez que ya la seguimos (o en otras palabras, las rutas son mutuamente excluyentes) debemos sumar esas probabilidades.
Por lo tanto, la probabilidad de comprar dos espectros iguales de los buenos y un tercer espectro bueno diferente, al comprar tan solo 3 mazos es la suma de las probabilidades de ambas "rutas":
Por supuesto, a pesar de que la lógica es correcta, no es una fórmula aún.
Para satisfacer sus preguntas
Finalmente intenté algunas cosas más sin éxito. No me quedó más opción que inventar un ejemplo ficticio parecido y preguntar en un foro:
https://math.stackexchange.com/question ... -different
Ahí se da una discusión interesante. Entre otras cosas podemos encontrar una fórmula:
Sin embargo, me llama la atención la otra respuesta. Yo creo que hay una solución alternativa en base a una sumatoria donde los factores que componen cada termino son fracciones de denominador 5 elevadas a alguna función del número de mazos. Si alguno tiene más ideas, feliz de escucharlas.
le sumamos algo de filosofía, lingüística, derecho y cuántica y tendremos una aproximación bastante buena ejejejeje